IP сервера 192.168.1.165, на который направлен этот адрес, недоступен из интернета, т.к. находится в локальном сегменте вашей личной сети.

Для запуска сервера в интернете необходимы

1) статический внешний IP адрес от интернет провайдера

2) правильно настроенный роутер с открытым портом, перенаправляющим трафик с этого статического IP на ваш внутренний локальный IP компьютера.

https://cleanvoice.userecho.com/ru/communities/1/topics/562-svoj-lokalnyij-teamspeak-server

Как правило, быстрее и выгоднее арендовать готовый сервер, который уже работает круглосуточно и не требует дополнительных знаний по запуску и настройке на системном уровне.

https://cleanvoice.ru/price#teamspeak3

Если "выше" имеется в виду выше среди списка групп, то за сортировку отвечает i_group_sort_id

Чтобы группу мог назначать только админ сервера, установите для неё i_group_needed_member_add_power = 75. Обычно 75 это максимальный уровень для всех групп, и у админа требуемый уровень i_group_member_add_power = 75.  Подробнее см. https://help.cleanvoice.ru/teamspeak/permissions/edit (Добавление и удаление пользователей из групп)

На любом сервере при создании сервера создается токен, который можно использовать один раз для входа в группу Server Admin. С этими привилегиями можно изменять настройки сервера, создавать новые группы и комнаты.

По ссылке начальная информация по настройке привилегий https://help.cleanvoice.ru/teamspeak/permissions. Там же, ознакомление с другими разделами даст полную картину по тому, как привилегии работают..

Проблемы на стороне сервера. 

Вчера в сетевой инфраструктуре провайдера OVH, где расположен этот сервер, произошел глобальный сбой https://twitter.com/OVHcloud/status/1448225243198369798

Вероятно, часть сети ещё не восстановлена, или это было сделано неправильно, т.к. маршрут зацикливается, судя по трассировке. 

Обратитесь с вашей трассировкой в техподдержку хостинга, где был арендован этот TS сервер, чтобы они, в свою очередь, обратились в датацентр по этому вопросу.

Срок аренды исправлен, письмо об остановке сервера было ошибочным.

Касательно отключения от сервера проверьте ещё раз. Там 5 слотов и если все не заняты, то должно пускать.

Обратную трассировку нужно сделать владельцу с IP сервера. Не обязательно через WinMTR, для Linux есть похожая утилита MTR https://help.cleanvoice.ru/general/traceroute

У вас потери в трассировке, кэш TS клиента не может влиять на сеть.

Вам стоит обратиться к вашему интернет провайдеру с вопросом почему адрес 51.83.200.31 (и не только) периодически недоступен для вас. К письму нужно приложить трассировку, которая есть разделе Детальная диагностика > Traceroute во втором отчете.

У вас нет связи до адреса 51.91.224.217

Можете обратиться в техподдержку вашего интернет провайдера с вопросом почему этот адрес не доступен, приложив трассировку до него. Её можно взять из отчета.в разделе Traceroute.

Подключитесь одновременно нескольким к тестовым серверам, каждый в отдельной вкладке TS клиента:

cleanvoice.ru

azure.cleanvoice.ru

pink.cleanvoice.ru

cornsilk.cleanvoice.ru

Если при вылете с вашего сервера выкидывает и со всех остальных, то вероятнее всего проблема на вашей стороне (обычно это нестабильная работа роутера).

Если вылетает только с некоторых, но на других связь остается, то вероятнее всего проблема у  вашегоинтернет провайдера. В этом случае стоит обратиться в техподдержку провайдера

Если вылетает только с одного вашего, то проблема в TS хостинге.

В таком случае, методом исключения можете проверить и остальные части. Роутер, фаерволл на компьютере. 

При возможности подключиться к интернету без роутера стоит это тоже проверить.

Можно попробовать запустить какой-нибудь веб сервер с одним портом (не TS), для проверки правильности настройки роутера.