Группу по-умолчанию, которая устанавливается автоматически новым пользователям при входе на сервер, можно задать в свойствах сервера на предпоследней вкладке "Прочее".

i_client_talk_power = -1

Ошибка сообщает о том, что у вас установлено некорректное время на компьютере. Иногда время правильное, но дата выставлена неверно.

Установите правильную дату и время на вашем компьютере https://time.yandex.ru. Или настройте автоматическую синхронизацию с сервера времени.

Перемещать можно только в те комнаты, к которым есть доступ. Если он сам не может войти в комнату, то и переместить никого туда не сможет.

Если сервер расположен у нас, то любого пользователя можно удалить через панель управления в разделе Управление > Users.

При наличии доступа ServerQuery это можно сделать командой clientdbdelete.

Добавление и удаление пользователей из групп

https://help.cleanvoice.ru/teamspeak/permissions/edit 

i_group_member_add_power

i_group_needed_member_add_power

Перемещение пользователей

i_client_move_power

i_client_needed_move_power

Отправка сообщений в чат сервера и канала

b_client_server_textmessage_send

b_client_channel_textmessage_send

Так же ознакомьтесь как работает пара привилегий "power" и "needed power"

https://help.cleanvoice.ru/teamspeak/permissions/types

Вы смотрите ещё на одном из уровней (привилегии пользователя). Их не рекомендуется изменять, так как эти привилегии фактически - скрытые, и их потом сложно отследить.

Проверять конечные значения привилегий нужно в другом месте:

Нужно смотреть именно в обзоре привилегий по правой кнопке на пользователя. Там отображаются конечные привилегии, примененные на всех уровнях.

На вашем скриншоте - только с уровня группы сервера

По правой кнопке на пользователя "Обзор привилегий". Там смотрите i_client_move_power у того, кто перемещает и i_client_needed_move_power у того, кого перемещают. Для успешного перемещения первое должно быть больше второго.

Это можно сделать через "списки нашептывания" (Whispers), которые активируются по горячей клавише.

Для 3-4 человек создать отдельную группу сервера, командир должен создать себе бинд на кнопку, чтобы при её нажатии началась передача голоса всем участникам этой группы.

Чтобы этих 3-4 человек слышали остальные, можно просто оставить канал как есть. Или точно так же сделать, чтобы они назначили себе по горячей клавише для вещания в определенный канал, группу, или на весь сервер -  в зависимости от ваших задач.

Подобные странности удобнее всего отслеживать через Обзор привилегий у пользователя (см. в конце https://help.cleanvoice.ru/teamspeak/permissions/faq)

Там отображаются конечные примененные к нему привилегии со всех уровней. И если в обзоре отображается одно, но в группе другое, то нужно искать где привилегия переопределяется на промежуточных уровнях.

Если же в обзоре все совпадает с тем, что установлено в группе, то скорее всего не учтены связанные привилегии (для добавления/удаления пользователей это i_client_permission_modify_power и i_client_needed_permission_modify).