Ваши комментарии
Нажать Пуск и ожидать пока не сгенерируется требуемый уровень безопасности. После этого подключение должно произойти.
Это означает что на сервере требуемый уровень безопасности на этом сервере = 15.
Получается ли у вас соедининиться на другие серверы? Например, violet.cleanvoice.ru и public.cleanvoice.ru
Попробуйте удалить папку C:\Users\ИМЯПОЛЬЗОВАТЕЛЯ\AppData\Roaming\TS3Client (Перед этим скопируйте её, чтобы если это не помогло, можно было восстановить все настройки.).
Перед удалением Teamspeak 3 необходимо закрыть.
Трассировка корректная.
Возможно, когда при попытке подключения, появляется сообщение о том, что сервер нелицензионный, вы нажимаете на кнопку справа? Она прекращает соединение, когда как кнопка слева соединяет:

Предоставьте трассировку до адреса 87.98.143.212
Это пиратский сервер со взломанной лицензией, о чем свидетельствует появляющееся сообщение при попытке подключения. В некоторых случаях, вероятно включая и ваш, на такие серверы невозможно подключиться.
У нас вы можете арендовать лицензионный сервер на котором подобные проблемы исключены http://cleanvoice.ru/teamspeak
Здесь пишут о точно такой же проблеме, и у нескольких пользователей она решилась путем отключения от компьютера джойстика.
Попробуйте тоже отключить все дополнительные устройства для проверки этого варианта.
На TS3 сервере есть опция b_client_force_push_to_talk, которая в определенных комнатах запрещает разговаривать по активации голосом, и разрешает только по кнопке. Возможно, при описании вы перепутали эти функции, и не работает активация голосом вместо кнопки? Проверьте функцию разговора в разных комнатах.
У вас некорректный маршрут до этого адреса. Вам необходимо обратиться к администратору этого сервера, чтобы он сделал обратную трассировку с сервера до вашего IP адреса. Далее с обеими трассировками необходимо обратиться либо в датацентр, где расположен сервер, либо к вашему интернет провайдеру (в зависимости от того, на чьей стороне проблема).
Если вопрос не разрешается длительное время, то вы можете самостоятельно это обойти через использование VPN подключения.
Предоставьте трассировку до адреса 5.135.171.218
Сервис поддержки клиентов работает на платформе UserEcho
Это была проверка на возможность подключения к другим серверам. Значит подключиться вы не можете только к одному конкретному серверу.
Мы сталкивались с подобными жалобами пользователей при соединении именно на нелицензионные (пиратские) серверы, которых сейчас появилось довольно много. К сожаление проблему решить так и не удалось. Вероятнее всего, проблема на самой серверной машине, или же во взломанной версии ПО сервера Teamspeak 3.